Question

【題目】已知橢圓的離心率為，拋物線與橢圓相交所得的線段長為3，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，過，分別作直線的垂線，垂足為，，與軸的交點(diǎn)為.若，，的面積成等差數(shù)列，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由橢圓，拋物線的對(duì)稱性得出點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，結(jié)合離心率，即可得出橢圓方程；

（2）設(shè)直線的方程為，并與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出，，設(shè)，，的面積分別為，，，由等差數(shù)列的性質(zhì)得出，結(jié)合三角形面積公式以及梯形面積公式，整理得出，進(jìn)而得出，由得出，即可得出直線斜率的取值范圍.

（1）由題意可知，拋物線與橢圓相交所得弦長為3

由，得

∴點(diǎn)在橢圓上，∴①

又，∴，∴②

由①②聯(lián)立，解得，，所以橢圓的方程為.

（2）依題意，直線與軸不重合，故可設(shè)直線的方程為，

由消去得：，

設(shè)，，則有且，.

設(shè)，，的面積分別為，，

因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，即，

則，

即，得，

又，，于是，

所以，由得，解得，

設(shè)直線的斜率為，則，所以，

解得或

所以直線斜率的取值范圍是.