【題目】已知函數(shù),.
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)已知,當(dāng),試比較與的大小,并給予證明.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3),證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)極值點(diǎn)定義可構(gòu)造方程求得,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得結(jié)果;
(2)分別在和兩種情況下,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)令,可求得;令,利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可確定,即的正負(fù),從而得到的單調(diào)性和最值,通過最值可知,進(jìn)而得到大小關(guān)系.
(1)由題意得:,
是的極值點(diǎn),,解得:
,又,
所求切線方程為,即.
(2)由題意得:定義域?yàn)?/span>,,
當(dāng)時(shí),恒成立,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)時(shí),令,解得:,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為;
綜上所述:當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(3)令,
則,
令,則,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,
又,,存在唯一零點(diǎn),使得
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,
又,即,,,
在上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ) 求曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離;
(Ⅱ) 若函數(shù)在,上單調(diào)遞增, 求的最大值 .
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【題目】《九章算術(shù)》卷第五《商功》中,有“賈令芻童,上廣一尺,袤二尺,下廣三尺,袤四尺,高一尺!,意思是:“假設(shè)一個(gè)芻童,上底面寬1尺,長(zhǎng)2尺;下底面寬3尺,長(zhǎng)4尺,高1尺(如圖)。”(注:芻童為上下底面為相互平行的不相似長(zhǎng)方形,兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體),若該幾何體所有頂點(diǎn)在一球體的表面上,則該球體的表面積為( )
A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f'(x),x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f'(x)<x,若f(6-m)-f(m)-18+6m≥0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.
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【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
(1)已知,利用上述性質(zhì),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)對(duì)于(1)中的函數(shù)和函數(shù),若對(duì)任意,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的值.
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【題目】設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,當(dāng)時(shí),.
(I)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅱ)記,求.
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【題目】某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生,每位學(xué)生對(duì)食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià),得到如圖所示的列聯(lián)表.經(jīng)計(jì)算的觀測(cè)值,則可以推斷出( )
滿意 | 不滿意 | |
男 | 30 | 20 |
女 | 40 | 10 |
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
A.該學(xué)校男生對(duì)食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為
B.調(diào)研結(jié)果顯示,該學(xué)校男生比女生對(duì)食堂服務(wù)更滿意
C.有95%的把握認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異
D.有99%的把握認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)證明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)已知對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)k的最大值.
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