【題目】如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD

(1)證明:ACBD;

(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AEEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)1:1.

【解析】試題分析:(1)取的中點(diǎn),由等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)得, ,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得平面,即得ACBD;(2)先由AEEC,結(jié)合平面幾何知識(shí)確定,再根據(jù)錐體的體積公式得所求體積之比為1:1.

試題解析:

(1)取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)DOBO.

因?yàn)?/span>AD=CD,所以ACDO.

又由于是正三角形,所以ACBO.

從而AC⊥平面DOB,故ACBD.

(2)連結(jié)EO.

由(1)及題設(shè)知∠ADC=90°,所以DO=AO.

中, .

AB=BD,所以

,故∠DOB=90°.

由題設(shè)知為直角三角形,所以.

是正三角形,且AB=BD,所以.

EBD的中點(diǎn),從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1:1.

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