【題目】如圖,梯形中,,,,、分別是,的中點(diǎn),現(xiàn)將沿翻折到位置,使
(1)證明:面;
(2)求二面角的平面角的正切值;
(3)求與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)通過折疊關(guān)系得,計(jì)算并證明,即可得證線面垂直;
(2)結(jié)合已證結(jié)論以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別通過平面和平面的法向量求出其余弦值,再求出正弦值;
(3)計(jì)算出平面的法向量與的方向向量的夾角余弦值的絕對(duì)值即可.
(1)梯形中,,,,、分別是,的中點(diǎn),
,四邊形為平行四邊形,,,,
所以四邊形為正方形,,折疊后,,
,,在三角形中,,
所以,
是平面內(nèi)兩條相交直線,
所以面;
(2)兩兩互相垂直,以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則
,設(shè)平面的法向量為
則,解得,令,取
由(1)可知,面,取平面的法向量
,
根據(jù)圖形,二面角的平面角的余弦值為
所以二面角的平面角的正切值為;
(3),由(2)可得平面的法向量
設(shè)直線與平面所成的角為,
.
所以與平面所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊矩形空地,要在這塊空地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地,使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上,已知且設(shè),綠地面積為.
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.
(2)當(dāng)為何值時(shí),綠地面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開,本屆大會(huì)以“節(jié)能減排,綠色生態(tài)”為主題,某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若a=2,C=,cos=,求△ABC的面積S.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,,是的中點(diǎn),是線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn),平面 平面,.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若與平面所成的角的正弦值為,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)是______個(gè).
①線段在平面內(nèi),則直線不在平面內(nèi);②兩平面有一個(gè)公共點(diǎn),則一定有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);③三條平行直線共面;④空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1 .
(1)證明:平面AB1C⊥平面BB1C1C
(2)若AB⊥B1C,直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°,求直線AB1與平面A1B1C 所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為,直線過橢圓的左焦點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與軸交于點(diǎn)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),的平分線在軸上,.試判斷直線是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
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