【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,,是的中點(diǎn),是線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn),平面 平面,.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若與平面所成的角的正弦值為,求四棱錐的體積.
【答案】(1)見解析 (Ⅱ)
【解析】
(1)連接AC交BD與O,可證PA//平面BDM,再利用線面平行的性質(zhì)定理和判定定理即可證得;
(2)根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系,由線面所成角的正弦值為可得G的位置,即可求出梯形PAHG的面積,然后可以求四棱錐的體積.
解:(1)證明:連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO.
因?yàn)?/span>MO是△APC的中位線,所以MO//PA
又PA平面MBD,MO平面MBD,所以PA//平面MBD
又因?yàn)槠矫?/span>GAP∩平面BDM=GH,PA平面GAP,所以PA//GH
又GH平面PAD,PA面PAD,所以GH//平面PAD
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1)
因?yàn)?/span>G在DM上,所以可設(shè)G(0,t,t),(0<t<1)
設(shè)是平面GAP的一個(gè)法向量,則
即,
可取
若PD與平面GAP所成的角為α,
則
解得,則G是線段DM的中點(diǎn)
D到平面GAP的距離為
由(1)知MO//PA,PA//GH,所以MO//GH,所以H也是DO的中點(diǎn),
經(jīng)計(jì)算得
梯形PAHG的高為,面積為
四棱錐D-PAHG的體積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦年足球世界杯的態(tài)度,隨機(jī)選取了位市民進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
支持 | 不支持 | 合計(jì) | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
合計(jì) |
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)利用(1)完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題:
(i)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān);
(ii)已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中位是教師,現(xiàn)從這位退休老人中隨機(jī)抽取人,求至多有位老師的概率.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為緩解堵車現(xiàn)象,解決堵車問題,銀川市交警隊(duì)調(diào)查了甲乙兩個(gè)路口的車流量,在2019年6月隨機(jī)選取了14天,統(tǒng)計(jì)每天上午7:30-9:00早高峰時(shí)段各自的車流量(單位:百輛)得到如圖所示的莖葉圖,根據(jù)莖葉圖回答以下問題.
(1)甲乙兩個(gè)路口的車流量的中位數(shù)分別是多少?
(2)試計(jì)算甲乙兩個(gè)路口的車流量在之間的頻率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣的一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還”.其大意為:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,請問此人第2天走的路程為
A. 24里 B. 48里 C. 72里 D. 96里
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形中,,,,、分別是,的中點(diǎn),現(xiàn)將沿翻折到位置,使
(1)證明:面;
(2)求二面角的平面角的正切值;
(3)求與平面所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(Ⅰ)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求的前項(xiàng)和為.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若對一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲,規(guī)則如下:每輪游戲發(fā)100個(gè)紅包,每個(gè)紅包金額為x元,.已知在每輪游戲中所產(chǎn)生的100個(gè)紅包金額的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求a的值,并根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)紅包金額的眾數(shù);
(2)以頻率分布直方圖中的頻率作為概率,若甲、乙、丙三人從中各搶到一個(gè)紅包,其中金額在[1,2)的紅包個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2mx+2lnx,m∈R.
(1)探究函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤2+3x2在(0,+∞)上恒成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地草場出現(xiàn)火災(zāi),火勢正以每分鐘的速度順風(fēng)蔓延,消防站接到警報(bào)立即派消防隊(duì)員前去,在火災(zāi)發(fā)生后分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場,已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場平均每人每分鐘滅火,所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用為每人每分鐘元,另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費(fèi)用平均每人100元,而燒毀一平方米森林損失費(fèi)為30元.
(1)設(shè)派名消防隊(duì)員前去救火,用分鐘將火撲滅,試建立與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問應(yīng)該派多少消防隊(duì)員前去救火,才能使總損失最少?(注:總損失費(fèi)=滅火勞務(wù)津貼+車輛、器械裝備費(fèi)+森林損失費(fèi))
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