學(xué)校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,,與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線,拋物線的頂點為,對稱軸與地面垂直,溝深2米,溝中水深1米.
(1)求水面寬;
(2)如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體,已知柱體的體積為底面積乘以高,求溝中的水有多少立方米?
(3)現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準(zhǔn)填土)成截面為等腰梯形的溝,使溝的底面與地面平行,溝深不變,兩腰分別與拋物線相切(如圖2),問改挖后的溝底寬為多少米時,所挖的土最少?
(1)米(2)立方米;(3)米
解析試題分析:(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點,拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系,寫出A,B點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法拋物線方程,利用水深即為水面與拋物線交點的縱坐標(biāo),代入拋物線方程求出水面與拋物線交點的橫坐標(biāo),結(jié)合圖知所求橫坐標(biāo)的2倍就是水面寬度;(2)利用定積分求出水體底面面積,再用柱體體積公式求出水體體積;(3)設(shè)出切點坐標(biāo),利用切點的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率求出切線的斜率,利用直線方程的點斜式求出切線方程,求出上下兩底頂點的坐標(biāo),利用上下底頂點坐標(biāo)的二倍就是梯形上下底寬算出梯形上下底的寬,將梯形面積表示為切點的橫坐標(biāo)的函數(shù),利用基本不等式求出面積取最小值時對應(yīng)的切點坐標(biāo),從而求出梯形的下底寬.
試題解析:(1)如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為.
則由拋物線過點,可得.
于是拋物線方程為.
當(dāng)時,,由此知水面寬為(米).
(2)(立方米)
(3)為使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切.
設(shè)切點是拋物線弧上的一點,過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形,則切線的方程為:,于是.
記梯形的面積為,則,
當(dāng)且僅當(dāng),時,等號成立,所以改挖后的溝底寬為米時,所挖的土最少.
考點:1.拋物線的圖像與性質(zhì);2.定積分;3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線;4.利用基本不等式求函數(shù)最值;5.函數(shù)應(yīng)用.
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已知二次函數(shù),不等式的解集為.
(1)求的解析式;
(2)若函數(shù)在上單調(diào),求實數(shù)的取值范圍;
(3)若對于任意的x∈[-2,2],都成立,求實數(shù)n的最大值.
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已知函數(shù)f(x)=xk+b(其中k,b∈R且k,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過A(4,2)、B(16,4)兩點.
(1)求f(x)的解析式;
(2)如果函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,解關(guān)于x的不等式:g(x)+g(x-2)>2a(x-2)+4.
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已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)設(shè),其中,判斷方程在區(qū)間 上的解的個數(shù)(其中為無理數(shù),約等于且有).
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橢圓c:(a>b>0)的離心率為,過其右焦點F與長軸垂直的弦長為1,
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左右頂點分別為A,B,點P是直線x=1上的動點,直線PA與橢圓的另一個交點為M,直線PB與橢圓的另一個交點為N,求證:直線MN經(jīng)過一定點.
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據(jù)市場分析,廣饒縣馳中集團某蔬菜加工點,當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時,月生產(chǎn)總成本(萬元)可以看成月產(chǎn)量(噸)的二次函數(shù).當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時,月總成本為20萬元;當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時,月總成本最低為17.5萬元.
(1)寫出月總成本(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量(噸)的函數(shù)關(guān)系;
(2)已知該產(chǎn)品銷售價為每噸1.6萬元,那么月產(chǎn)量為多少時,可獲最大利潤;
(3)當(dāng)月產(chǎn)量為多少噸時, 每噸平均成本最低,最低成本是多少萬元?
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設(shè)函數(shù).
(1)設(shè),,,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點;
(2)設(shè),若對任意、,有,求的取值范圍.
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