【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)在軸上方),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,且,求的外接圓的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】試題分析:(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為,所以點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為.,解得,從而可得拋物線的方程;(2)設(shè)直線的方程為.
將代入并整理得,設(shè), , ,根據(jù)韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積公式可得,求得直線與的中垂線方程,聯(lián)立可得圓心坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及勾股定理可得圓的半徑,從而可得外接圓的方程.
試題解析:(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為,
所以點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為.
解得.
所以拋物線的方程為.
(2)設(shè)直線的方程為.
將代入并整理得,
由,解得.
設(shè), , ,
則, ,
因?yàn)?/span>
因?yàn)?/span>,所以.
即,又,解得.
所以直線的方程為.設(shè)的中點(diǎn)為,
則, ,
所以直線的中垂線方程為.
因?yàn)?/span>的中垂線方程為,
所以△的外接圓圓心坐標(biāo)為.
因?yàn)閳A心到直線的距離為,
且,
所以圓的半徑.
所以△的外接圓的方程為.
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