【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點, ,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2).
【解析】試題分析:(1)時, ,定義域為,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)由函數(shù)在 上有兩個極值點,求導(dǎo),根據(jù)判別式可得,不等式恒成立即為 ,求得,令求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得到的范圍,即可求得的范圍.
試題解析:(1)時, ,定義域為,
.
∴時: , 時, ,
∴的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(2)函數(shù)在上有兩個極值點, .
由.得,
當(dāng), 時, , , ,則,∴.
由,可得, ,
,
令,則,
因為., ,又.
所以,即時, 單調(diào)遞減,所以,即,
故實數(shù)的取值范圍是.
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【題目】(1)求焦點在軸,焦距為4,并且經(jīng)過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知雙曲線的漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點,求此雙曲線的方程.
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【題目】已知拋物線的焦點為拋物線上存在一點到焦點的距離等于3.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點(兩點在軸上方),點關(guān)于軸的對稱點為,且,求的外接圓的方程.
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【題目】已知函數(shù)
(1) 判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明;
(2)若存在實數(shù)使函數(shù)是奇函數(shù),求;
(3)對于(2)中的,若,當(dāng)時恒成立,求的最大值.
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【題目】為了保護環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟,某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為:y=x2-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x﹣2)2+y2=4.
(1)在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別求圓C1與圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點的極坐標(biāo);
(2)求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣2|x|.
(1)求不等式f(x)≤﹣6的解集;
(2)若存在實數(shù)x滿足f(x)=log2a,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】高二某班共有20名男生,在一次體驗中這20名男生被平均分成兩個小組,第一組和第二組男生的身高(單位: )的莖葉圖如下:
(1)根據(jù)莖葉圖,分別寫出兩組學(xué)生身高的中位數(shù);
(2)從該班身高超過的7名男生中隨機選出2名男生參加;@球隊集訓(xùn),求這2名男生至少有1人來自第二組的概率;
(3)在兩組身高位于(單位: )的男生中各隨機選出2人,設(shè)這4人中身高位于(單位: )的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某工廠有工人1000名,為了提高工人的生產(chǎn)技能,特組織工人參加培訓(xùn).其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為類工人).現(xiàn)從該工廠的工人中共抽查了100名工人作為樣本,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力是指工人一天加工的零件數(shù)),得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(圖1),類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(圖2).
(1)在樣本中求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀,現(xiàn)以樣本中頻率作為概率,從1000名工人中按分層抽樣共抽取名工人進行調(diào)查,請估計這名工人中的各類人數(shù),完成下面的列聯(lián)表.
若研究得到在犯錯誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān),則的最小值為多少?
參考數(shù)據(jù):
參考公式: ,其中.
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