【題目】如圖所示,已知在矩形中,,,平面,且.
(1)問當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍時,邊上能存在點(diǎn),使得?
(2)當(dāng)邊上有且僅有一個點(diǎn)使得時,求二面角的余弦值大小.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)建立坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),則,,由,可得,顯然當(dāng)該方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解時,邊上才存在點(diǎn),使得,,即可求得的范圍.
(2)求平面的一個法向量是和平面的一個法向量是,由,即可求得二面角的余弦值.
(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為、、軸建立坐標(biāo)系如圖所示:
,,
,,.
設(shè)點(diǎn),則,.
由,得.
顯然當(dāng)該方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解時,邊上才存在點(diǎn),使得,
故只須.
,故的取值范圍為.
(2)易見,當(dāng)時,上僅有一點(diǎn)滿足題意,
此時,即為的中點(diǎn),
得:,,.
設(shè)平面的一個法向量是,
則,,
,,
,取,,,所以.
又平面的一個法向量是.
,
二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè).
(i)若函數(shù)在上恒成立,求的最大值;
(ii)當(dāng)時,判斷函數(shù)有幾個零點(diǎn),并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,為常數(shù).
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為,兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形面積為.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)與圓相切的直線交橢圓于,兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),的最大值.
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【題目】已知橢圓:過點(diǎn)與點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線過定點(diǎn),且斜率為,若橢圓上存在,兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍及面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.
(1)證明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為4,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則|y1﹣y2|值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,點(diǎn)在橢圓上,橢圓的離心率是.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓長軸的左端點(diǎn),為橢圓上異于橢圓長軸端點(diǎn)的兩點(diǎn),記直線斜率分別為,若,請判斷直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求該定點(diǎn)坐標(biāo),若不過定點(diǎn),請說明理由.
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