Question

【題目】已知橢圓：過點與點.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線過定點，且斜率為，若橢圓上存在，兩點關(guān)于直線對稱，為坐標原點，求的取值范圍及面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）把兩點的坐標代入橢圓的方程，求得的值，即可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，由，即，以及根與系數(shù)的關(guān)系，得到線段AB的中點坐標，代入直線方程方程，求得，再利用兩點間距離公式和點到直線的距離公式，得到的表達式，即可求解.

（1）由題意，可得，解得，所以橢圓的方程為.

（2）由題意，設(shè)直線AB的方程為，

由，整理得，

所以，即，……….①

且，

所以線段AB的中點橫坐標，縱坐標為，

將代入直線方程，可得 ……… ②，

由①②可得，又，所以，

又，

且原點O到直線AB的距離，

所以，

所以時，最大值，此時，

所以時，最大值.