【題目】(12分)已知橢圓的離心率為橢圓C長軸長為4

1求橢圓C的方程;

2已知直線與橢圓C交于A,B兩點是否存在實數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O?若存在求出k的值;若不存在,請說明理由

【答案】(1);(2)存在實數(shù)使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力第一問,利用橢圓的離心率和長軸長列出方程,解出a和c的值,再利用計算b的值,從而得到橢圓的標準方程;第二問,將直線與橢圓聯(lián)立,消參,利用韋達定理,得到,由于以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O,所以,代入,解出k的值

試題解析:1設橢圓的焦半距為c,則由題設,

解得,所以

故所求橢圓C的方程為

2存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O

理由如下:

設點,,

將直線的方程代入,

并整理,.(*

,

因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O

所以,

,

于是解得,

經(jīng)檢驗知:此時*式的Δ>0,符合題意

所以當,以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O

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