Question

【題目】定義：對于任意，滿足條件且（M是與n無關的常數）的無窮數列稱為M數列.

（1）若等差數列的前項和為，且，判斷數列是否是M數列，并說明理由；

（2）若各項為正數的等比數列的前項和為，且，證明：數列是M數列，并指出M的取值范圍；

（3）設數列，問數列是否是M數列？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)數列不是M數列，證明見解析；(2)數列是M數列，證明見解析，M的取值范圍為；(3)當時，數列是M數列.

【解析】

(1)由等差數列的性質求等差數列的的公差，然后借助M數列的條件即可判斷數列是否是M數列；

(2)由等比數列的性質求等比數列的公比，求前項和，然后借助M數列的條件判斷，，即可得出結論數列是M數列，并可得出M的取值范圍；

(3)先假設數列是M數列，然后由滿足M數列的條件， 恒成立，去絕對值討論滿足條件的的取值范圍，最后得出答案.

(1) 數列不是M數列，證明如下：

設等差數列的公差為，則由等差數列的性質可得：，得，所以，則等差數列是遞增等差數列，恒有，即得數列無最大值，不滿足，故數列不是M數列；

(2) 設等比數列的公比為，由題意可得，所以由，，

解得，則，所以，，，

所以，即，滿足，

由，且，滿足，即滿足M數列的條件，故數列是M數列，且M，所以M的取值范圍為.

(3)若數列是M數列，則滿足，由

可得：， 恒成立，

當時，可得，

令，由恒成立，可得：

若，則由，可得；

若，則由，可得(舍)；

若，則由，可得(舍)，

所以當時，由可得，

當時，由，可得恒成立，

所以當時，， 恒成立，

又因為此時恒成立，

綜上可得：當時，數列滿足M數列的性質要求，

所以當時，數列是M數列.