【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調區(qū)間及極值;
(2)當時,函數(shù)(其中)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調增區(qū)間為,減區(qū)間為,(2)
【解析】
(1)求出時及,由導數(shù)大于0,可得增區(qū)間,由導數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(2)令,恒成立可變形為,對恒成立.方法一:令,取必要條件,解得,只要證明當時,對恒成立即可;方法二:上式繼續(xù)變形為:對恒成立,設,因此,故而求出即可得出結論.
解:(1)當時,,此時,
當,;,,
所以函數(shù)的單調增區(qū)間為,減區(qū)間為,
所以有極大值,無極小值;
(2)方法一:即恒成立,
令,即,上式可變?yōu)?/span>,
即對恒成立,
令,
取必要條件,解得,
下證當時,對恒成立,
,
因為,所以在單調遞增,
由于,,
所以在存在唯一零點,
所以在存在唯一極小值點,
此時,即,
,
由于,可得,,
所以恒成立,即對恒成立,
綜上可得的取值范圍為.
方法二:即恒成立,
令,即,上式可變?yōu)?/span>,
即對恒成立,
即對恒成立,
設,則,
可知在單調遞增,在單調遞減,
因此,
所以,解得,
即的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】生男生女都一樣,女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想,頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿,現(xiàn)隨機抽取某地200戶家庭進行調查統(tǒng)計.這200戶家庭中,頭胎為女孩的頻率為0.5,生二孩的頻率為0.525,其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.
(1)完成下列列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關;
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
(2)在抽取的200戶家庭的樣本中,按照分層抽樣的方法在頭胎生女孩家庭中抽取了5戶,進一步了解情況,在抽取的5戶中再隨機抽取3戶,求這3戶中恰好有2戶生二孩的概率.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于和兩點.
(1)當時,求直線的方程;
(2)若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于兩點,記與的面積分別為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓在左、右頂點分別為、,左焦點為,過的直線與交于、兩點(和均不在坐標軸上),直線、分別與軸交于點、,直線、分別與軸交于點、,求證:為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,,且,,分別為棱,,的中點.
(1)證明:直線與共面;并求其所成角的余弦值;
(2)在棱上是否存在點,使得平面,若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】市扶貧工作組從4男3女共7名成員中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人工作小組下鄉(xiāng),要求工作組中至少有1名女同志,且隊長和副隊長不能都是女同志,共有______種安排方法.
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