【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,,且,,分別為棱,,的中點(diǎn).
(1)證明:直線與共面;并求其所成角的余弦值;
(2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面,若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析,;(2)存在,,理由見解析.
【解析】
(1)證明直線與共面只需證明出與平行即可,然后再通過余弦定理求出兩直線所成角的余弦值;
(2)建立直角坐標(biāo)系,求出,利用線面垂直條件證明即可.
(1)證明:,分別是,的中點(diǎn),
,
由棱柱性質(zhì)易得,
,
,,,四點(diǎn)共面,
即直線與共面得證,
取中點(diǎn)為,連結(jié),易知四邊形為平行四邊形,
故,則為直線與所成角,
,,
,
在中,,
,
,
即直線與所成角的余弦值為;
(2)由題意,直線,,兩兩相互垂直,
如圖所示建立直角坐標(biāo)系,為坐標(biāo)原點(diǎn),
有,,,,
,,
設(shè),,
則,,
,
要使平面,則,
即,
解得,即,
故在棱上存在點(diǎn),
使得平面,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),若關(guān)于的不等式恒成立,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)(其中)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在(時(shí))內(nèi)的頻率;
(2)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和的平均數(shù)(每組取該組的中間值作代表);
(3)以頻率估計(jì)概率,記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時(shí)間之和在(時(shí))內(nèi)的周數(shù)為,求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黨的十九大報(bào)告明確指出要堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),讓貧困人口和貧困地區(qū)同全國一道進(jìn)入全面小康社會(huì),要?jiǎng)訂T全黨全國全社會(huì)力量,堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧,確保到2020年我國現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口實(shí)現(xiàn)脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實(shí)施脫貧工作.經(jīng)摸底排查,該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100戶,他們均從事水果種植,2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元,扶貧工作組一方面請(qǐng)有關(guān)專家對(duì)水果進(jìn)行品種改良,提高產(chǎn)量;另一方面,抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作,其戶數(shù)必須小于種植的戶數(shù).從2018年初開始,若該村抽出戶(,)從事水果包裝、銷售.經(jīng)測算,剩下從事水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高,而從事包裝銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為萬元.(參考數(shù)據(jù):,,,).
(1)至2018年底,該村每戶年均純收入能否達(dá)到1.32萬元?若能,請(qǐng)求出從事包裝、銷售的戶數(shù);若不能,請(qǐng)說明理由;
(2)至2020年底,為使從事水果種植農(nóng)戶能實(shí)現(xiàn)脫貧(即每戶(水果種植農(nóng)戶)年均純收入不低于1.6萬元),至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若時(shí),函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年3月18日,國務(wù)院辦公廳發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》,我市環(huán)保部門組織了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民都可以通過電腦網(wǎng)絡(luò)或手機(jī)微信平臺(tái)參與,但僅有一次參加機(jī)會(huì)工作人員通過隨機(jī)抽樣,得到參與網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查的100人的得分(滿分按100分計(jì))數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.
組別 | ||||||
女 | 2 | 4 | 4 | 15 | 21 | 9 |
男 | 1 | 4 | 10 | 10 | 12 | 8 |
(1)環(huán)保部門規(guī)定:問卷得分不低于70分的市民被稱為“環(huán)保關(guān)注者”.請(qǐng)列出列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)?
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.現(xiàn)在從本次調(diào)查的“環(huán)保達(dá)人”中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5名市民參與環(huán)保知識(shí)問答,再從這5名市民中抽取2人參與座談會(huì),求抽取的2名市民中,既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率.
附表及公式:,.
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