【題目】某班有20人參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試各一次，考試按10分制評(píng)分，即成績(jī)是0到10的整數(shù).考試結(jié)果是：（1）沒(méi)有0分；（2）沒(méi)有兩個(gè)同學(xué)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都相同.我們說(shuō)“同學(xué)比的成績(jī)好”是指“同學(xué)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于”.證明：存在三個(gè)同學(xué)、、，使得同學(xué)比的成績(jī)好，同學(xué)比的成績(jī)好.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

若同學(xué)比的成績(jī)好，記為.

原問(wèn)題等價(jià)于證明：存在三個(gè)同學(xué)、、，滿(mǎn)足.

用表示第個(gè)同學(xué)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)，于是，，且等號(hào)不同時(shí)成立.

因?yàn)檎Z(yǔ)文成績(jī)在1到10的整數(shù)中取值，對(duì)這20個(gè)同學(xué)的語(yǔ)文成績(jī)，由抽屜原理知，下列情形之一必然出現(xiàn)：

情形1：某個(gè)分?jǐn)?shù)值，至少有三個(gè)人取得，即存在某個(gè)，使得（其中、、兩兩不等）；

情形2：每個(gè)分?jǐn)?shù)值，恰好有兩個(gè)人取得，即對(duì)任意的，存在不同的、，使得.

同理，對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)同樣有兩種情形：

情形：存在某個(gè)，使得（其中、、兩兩不等）；

情形：對(duì)任意的，存在不同的、，使得.

下面進(jìn)行討論：

對(duì)情形1：若，則由條件（2）知、、兩兩不等.

不失一般性，不妨設(shè)，則，即存在三個(gè)同學(xué)、、滿(mǎn)足.

對(duì)情形同理可證.

對(duì)情形：有兩個(gè)，不失一般性，設(shè)，于是，得，，且.

不失一般性，不妨設(shè)，則.

這時(shí)，對(duì)于，若出現(xiàn)情形，則結(jié)論成立；若出現(xiàn)情形，則必有兩人得10分.

不妨設(shè)為、，易知、中至少有一個(gè)不取1（否則與條件（2）矛盾）.設(shè)為，則.

所以，，故結(jié)論成立.

對(duì)于情形同理可證.

綜上所述，結(jié)論成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）在給定坐標(biāo)系下作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象指出的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中點(diǎn)，求證：

（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）A1C//平面AB1E．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)，過(guò)且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)

（1）求的取值范圍；

（2）若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）若個(gè)棱長(zhǎng)為正整數(shù)的正方體的體積之和等于2005，求的最小值，并說(shuō)明理由；

（2）若個(gè)棱長(zhǎng)為正整數(shù)的正方體的體積之和等于，求的最小值，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)．

討論的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法：

①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；

②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位；

③線(xiàn)性回歸方程必過(guò)；

④在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得是，則有的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系.

其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）

本題可以參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：

0.05

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知奇函數(shù)f（x），函數(shù)g（θ）＝cos2θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．

（1）求b的值；

（2）判斷函數(shù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，并證明；

（3）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)g（θ）的最小值恰為f（x）的最大值，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】階梯水價(jià)的原則是“�；尽⒔C(jī)制、促節(jié)約”，其中“�；�”是指保證至少80%的居民用戶(hù)用水價(jià)格不變.為響應(yīng)國(guó)家政策，制訂合理的階梯用水價(jià)格，某城市采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶(hù)和20戶(hù)居民的年人均用水量進(jìn)行調(diào)研，得到數(shù)據(jù)如下（單位：噸）.

郊區(qū)：19 25 28 32 34

城區(qū)：18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42

（1）在郊區(qū)的這5戶(hù)居民中隨機(jī)抽取2戶(hù)，求其年人均用水量都不超過(guò)30噸的概率；

（2）設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶(hù)數(shù)比為1：5，現(xiàn)將年人均用水量不超過(guò)30噸的用戶(hù)定義為第一階梯用戶(hù)，并保證這一階梯的居民用戶(hù)用水價(jià)格保持不變，試根據(jù)樣本總體的思想，分析此方案是否符合國(guó)家“�；�”政策.

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