【題目】已知奇函數(shù)f(x),函數(shù)g(θ)=cos2θ+2sinθ,θ∈[m,].m,b∈R.
(1)求b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[0,1]上的單調(diào)性,并證明;
(3)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)g(θ)的最小值恰為f(x)的最大值,求m的取值范圍.
【答案】(1)b=0;(2)在[0,1]上的單調(diào)遞增,證明見解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),令f(0)=0求解.
(2)函數(shù)f(x)在[0,1]上的單調(diào)遞增,再利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明.
(3)根據(jù)(2)知,函數(shù)f(x)在[0,1]上的單調(diào)遞增,得到.即g(θ)的最小值為,再令t=sinθ,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.
(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的奇函數(shù),
所以f(0)=0,解得b=0.
(2)函數(shù)f(x)在[0,1]上的單調(diào)遞增.
證明:設(shè)
則:f(x2)﹣f(x1),
因?yàn)?/span>,
所以x2﹣x1>0,1﹣x1x2>0,
所以,
即f(x2) f(x1),
所以函數(shù)f(x)在[0,1]上的單調(diào)遞增.
(3)由(2)得:函數(shù)f(x)在[0,1]上的單調(diào)遞增,
所以.所以g(θ)的最小值為.
令t=sinθ,所以y的最小值為,
令
解得
所以,
即,
所以
又因?yàn)?/span>θ∈[m,].m,b∈R,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】郴州市某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人,每人分別對(duì)兩個(gè)教師進(jìn)行評(píng)分,滿分均為100分,整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組:,,,,,.得到甲教師的頻率分布直方圖,和乙教師的頻數(shù)分布表:
(1)在抽樣的100人中,求對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù);
(2)從對(duì)乙教師的評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人,求2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率;
(3)如果該校以學(xué)生對(duì)老師評(píng)分的中位數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評(píng)為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn),則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師?(精確到0.1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班有20人參加語文、數(shù)學(xué)考試各一次,考試按10分制評(píng)分,即成績是0到10的整數(shù).考試結(jié)果是:(1)沒有0分;(2)沒有兩個(gè)同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)成績都相同.我們說“同學(xué)比的成績好”是指“同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于”.證明:存在三個(gè)同學(xué)、、,使得同學(xué)比的成績好,同學(xué)比的成績好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全,根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定:100mL血液中酒精含量低于20mg的駕駛員可以駕駛汽車,酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車,80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少,那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車?( )(參考數(shù)據(jù):lg0.2≈﹣0.7,1g0.3≈﹣0.5,1g0.7≈﹣0.15,1g0.8≈﹣0.1)
A.1B.3C.5D.7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2名女生、4名男生排成一排,求:
(1)2名女生不相鄰的不同排法共有多少種?
(2)女生甲必須排在女生乙的左邊(不一定相鄰)的不同排法共有多少種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則下列結(jié)論正確的有( )
A.
B.展開式中常數(shù)項(xiàng)為160
C.展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和1458
D.若為偶數(shù),則展開式中和的系數(shù)相等
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天干地支紀(jì)年法,源于中國,中國自古便有十天干與十二地支.十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配,排列起來,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”,…,以此類推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新開始,即“甲戌”,“乙亥”,之后地支回到“子”重新開始,即“丙子”,…,以此類推,已知2016年為丙申年,那么到改革開放100年時(shí),即2078年為________年
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn),分別在拋物線和圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且總是平行于軸,則周長的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓:的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓:,設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),且直線分別與軸交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),
求證:為定值.
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