Question

【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓的方程；

（3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，

求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），證明見解析．

【解析】

試題（1）先通過離心率求出，再通過，然后寫出橢圓方程；（2）先設(shè)出點的坐標(biāo)，由于點在橢圓上，所以，找到向量坐標(biāo)，根據(jù)點乘列出表達式，配方法找到表達式的最小值，得到點坐標(biāo)，點在圓上，代入得到圓的半徑，就可以得到圓的方程；（3）設(shè)出點的坐標(biāo)，列出直線的方程，因為直線與軸有交點，所以令，得到，所以，又因為點在橢圓上，得到方程，代入中，得到，所以.

試題解析：（1）依題意，得，，∴；

故橢圓的方程為． 3分

（2）方法一：點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點在橢圓上，所以． （*） 4分

由已知，則，，

所以

． 6分

由于，故當(dāng)時，取得最小值為．

由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為：． 8分

方法二：點與點關(guān)于軸對稱，故設(shè)，

不妨設(shè)，由已知，則

． 6分

故當(dāng)時，取得最小值為，此時，

又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為：． 8分

(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，

令，得， 同理：， 10分

故（**） 11分

又點與點在橢圓上，故，， 12分

代入（**）式，得：．

所以為定值． 14分

方法二：設(shè)，不妨設(shè)，，

其中．則直線的方程為：，

令，得，

同理：， 12分

故．

所以為定值． 14分