【題目】已知數(shù)列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N）．記Sn=a1+a2+…+an ． Tn= + +…+ ．求證：當n∈N*時
（1）0≤an＜an+1＜1；
（2）Sn＞n﹣2；
（3）Tn＜3．

【答案】
（1）證明：因為an+12+an+1﹣1=an2，（1）所以an2+an﹣1=an﹣12，（2）

，

所以an+1﹣an與an﹣an﹣1同號，即與a2﹣a1一致．

因為 ，且a2﹣a1＞0，

∴an+1﹣an＞0，

∵ ，

∴ ，

即an+1＜1

綜上所述：0≤an＜an+1＜1對任何n∈N*都成立．


（2）證明：由 ，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），

得 ．

因為a1=0，所以 ．

∵an＜1，

所以Sn＞n﹣2．


（3）證明：由 ，得

所以 ，

于是 ，

故當n≥3時， ，

又因為T1＜T2＜T3，

所以Tn＜3．


【解析】（1）先證明an+1﹣an＞0，再證明an+1＜1．（2）由ak+12+ak+1﹣1=ak2 ， 對k取1，2，…，n﹣1時的式子相加得Sn ， 最后對Sn進行放縮即可證得．（3）利用放縮法由 ，得 ，即可得出結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識，掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】證明:△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三條邊).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校從參加高三年級期中考試的學生中隨機統(tǒng)計了40名學生的政治成績,這40名學生的成績?nèi)吭?/span>40分至100分之間,據(jù)此繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.

（1）求成績在[80,90）的學生人數(shù)；

（2）從成績大于等于80分的學生中隨機選2名學生,求至少有1 名學生成績在[90,100]的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將號碼分別為1、2、…、9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個球．其號碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為b，則使不等式a－2b＋10>0成立的事件發(fā)生的概率等于________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有下列說法：

①在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適；

②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，R2值越大，說明模型的擬合效果越好；

③比較兩個模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好．

④在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時，若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了15％的熱茶銷售杯數(shù)變化.

其中正確命題的個數(shù)是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）= 若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是（ ）
A.（24，25）
B.[16，25）
C.（1，25）
D.（0，25]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= ，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）令cn= ，求證：c1+c2+…+cn＜n+ ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)

（1）討論的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）將函數(shù)的圖象向下平移1個單位后得到的圖象，且為自然對數(shù)的底數(shù)）和是函數(shù)的兩個不同的零點，求的值并證明： 。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知實數(shù)a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值為3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若對于x≥a均有g(shù)（x）＜f（x），求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案