Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)，設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時，求的最大值；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值；

（3）設(shè)，若，對于任意的兩個正實(shí)數(shù)，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）最大值為﹣1；（2）a=﹣e2；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求其極大值，若是唯一極值點(diǎn)，則極大值即為最大值．

（2）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，對a進(jìn)行分類討論并判斷其單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性求其最大值，并判斷其最大值是否為﹣3，若是就可求出相應(yīng)的最大值．

（3）先求導(dǎo)，再求導(dǎo)，得到g′（x）為增函數(shù)，不妨令x2＞x1，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.

試題解析：

（1）易知f（x）定義域?yàn)椋?/span>0，+∞），

當(dāng)a=﹣1時，f（x）=﹣x+lnx，，

令f′（x）=0，得x=1．

當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．

f（x）max=f（1）=﹣1．

∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值為﹣1，

（2）∵．

①若，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上是增函數(shù)，

∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合題意，

②若，則由，即

由，即，

從而f（x）在（0，﹣）上增函數(shù)，在（﹣，e]為減函數(shù)

∴

令，則，

∴a=﹣e2，

（3）證明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0

∴，

∴g′（x）為增函數(shù)，不妨令x2＞x1

令，/p>

∴，

∵，

∴

而h（x1）=0，知x＞x1時，h（x）＞0

故h（x2）＞0，

即.