【題目】已知函數(shù),其中.

1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)處的切線方程;

2)記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1 2 3

【解析】

1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程;

2)先求導(dǎo),則不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,轉(zhuǎn)化為對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,構(gòu)造函數(shù),,分類討論,即可求出的范圍;

3)先求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)可得,且,再化簡可得到,構(gòu)造,,求出函數(shù)的最值即可.

解:(1)當(dāng)時(shí),,其中,故.

,故.

所以函數(shù)處的切線方程為,即.

2)由,可得.

由題知,不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,

對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,

,..

①若,則,上單調(diào)遞增,,故符合題意.

②若,令,得(負(fù)舍).

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞減,故,與題意矛盾,

所以不符題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍.

3)據(jù)題意,其中.

.因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,

所以,是方程的兩個(gè)不等的正根,

,且

所以

,

據(jù)可得,,

,

,故不等式可簡化為,

,,則,

所以上單調(diào)遞增,又,

所以不等式的解為.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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