Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)，都有.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足.

①若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

②若數(shù)列都是等比數(shù)列，求證：數(shù)列中至多存在三項(xiàng).

Answer 1

【答案】（1）（2）①見(jiàn)證明；②見(jiàn)證明；

【解析】

（1）由可得，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）①由可得，利用待定系數(shù)法可得從而得證；②利用反證法證明即可.

（1）令，則由，得

因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)n=1時(shí)，此式也成立.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（2）①【證法一】因?yàn)?/span>，

，

所以.

由得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

【證法二】

因?yàn)?/span>

所以

所以.

所以，

所以，

記

，

兩式相減得，

所以，

所以，當(dāng)時(shí)，，

由得，

所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，

所以，(iii)

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

【證法三】

因?yàn)?/span>

所以，（i）

所以，（ii）

（i）-（ii）得，（iii）

所以，（iv）

（iii）-（iv）得，

所以.

由知.

所以，

所以數(shù)列是等差數(shù)列

②不妨設(shè)數(shù)列超過(guò)三項(xiàng)，令，

由題意，則有，

即，

代入，整理得 （*），

若p=q=1，則，與條件矛盾；

若，當(dāng)n=1時(shí)，，①

當(dāng)n=2時(shí)，，②

②÷①得，p=q，代入（*）得b=c，所以，與條件矛盾.

故這樣的數(shù)列至多存在三項(xiàng).