【題目】已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn),且與定直線相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;
(2)已知點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線與交于,兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與直線,交于點(diǎn),(為原點(diǎn)),求證:為線段中點(diǎn).
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,可得圓心的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,從而得出方程;
(2)設(shè),,設(shè)直線斜率為,則直線方程為,與拋物線聯(lián)立得出,且,寫出韋達(dá)定理,,再通過(guò)直線的交點(diǎn)分別求出和,從而求出,結(jié)合韋達(dá)定理,化簡(jiǎn)得,即可證出:為線段中點(diǎn).
解:(1)由題意知,動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等,
由拋物線定義知,
動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,
其中,
即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為:.
(2)設(shè),,顯然直線斜率存在且不為0,設(shè)為,
則直線方程為,
將與拋物線方程:聯(lián)立,
得,,,,
又,聯(lián)立得,
同理可得,
則
,
即,
所以為線段中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)作傾斜角為的直線與軸和雙曲線的右支分別交于兩點(diǎn),若點(diǎn)平分線段,則該雙曲線的離心率是( )
A. B. C. 2 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù),則
A. r2<r1<0 B. r2<0<r1 C. 0<r2<r1 D. r2=r1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在上的最小值;
(2)若是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線的交點(diǎn)為、,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”( 注:如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無(wú)其他正因數(shù),則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)),在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,則的概率是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過(guò)程,由于鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短,因此必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系.現(xiàn)已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的一組數(shù)據(jù),如下表所示:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
104 | 180 | 190 | 177 | 147 | 134 | 150 | 191 | 204 | 121 | |
100 | 200 | 210 | 185 | 155 | 135 | 170 | 205 | 235 | 125 | |
10400 | 36000 | 39900 | 32745 | 22785 | 18090 | 25500 | 39155 | 47940 | 15125 |
(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明,與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明( ,則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,否則認(rèn)為沒(méi)有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,精確到0.001);
(2)建立關(guān)于的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01);
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,預(yù)測(cè)鋼水含碳量為160個(gè)0.01%的冶煉時(shí)間.
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,
,相關(guān)系數(shù)
參考數(shù)據(jù):,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為0.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn),是直線上的兩點(diǎn),且,,求四邊形面積的最大值.
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