已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,且斜率為的直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)及點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),交橢圓于點(diǎn)P、Q.
(ⅰ)若滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的面積;
(ⅱ)若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直,點(diǎn)軸上,且使的一條角平分線,則稱點(diǎn)為橢圓的“特征點(diǎn)”,求橢圓的特征點(diǎn).
(1);(2)(。2,(ⅱ)

試題分析:(1)由短軸長(zhǎng),由焦點(diǎn)和點(diǎn)可算出斜率為,可以得到焦點(diǎn)坐標(biāo),所以可以得橢圓的方程。(2)(。┯上蛄康臄(shù)量積公式及三角形面積公式可得出結(jié)果。(ⅱ)設(shè)直線的方程,但是不需要求的方程,通過(guò)與橢圓聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。
試題解析:(1)由題意可知,直線的方程為,         1分
∵直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn),∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為    2分
又橢圓的短軸長(zhǎng)為,∴,∴   3分
∴橢圓的方程為   4分
(2)(。
   6分
    8分
(ⅱ)設(shè)特征點(diǎn),左焦點(diǎn)為,可設(shè)直線PQ的方程為,
消去
設(shè),則
     10分
的一條角平分線,
,即          12分
,,代入上式可得

,解得
∴橢圓C的特征點(diǎn)為.                     14分
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

直線y=kx+b與曲線交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求曲線的離心率;
(2)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(3)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知定點(diǎn)F(2,0)和定直線l:x=-2,動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)F與定直線l相切,記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程.
(2)若以M(2,3)為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點(diǎn),且線段AB是此圓的直徑時(shí),求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,,則橢圓的離心率為(    )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知曲線::的焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)的一個(gè)交點(diǎn),則△的形狀是(   )
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.都有可能

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

下列命題正確的有___________
①已知A,B是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn), P是該橢圓上異于A,B的任一點(diǎn),則
②已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則的最小值為-2.
③若拋物線:的焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)和拋物線內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作拋物線的切線,直線過(guò)點(diǎn)且與垂直,則平分;
④已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),, 則不等式的解集是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知△ABC的周長(zhǎng)為12,頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),C為動(dòng)點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)作兩條關(guān)于y軸對(duì)稱的直線(不與坐標(biāo)軸重合),使它們分別與曲線E交于兩點(diǎn),求四點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的四邊形的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)e是橢圓=1的離心率,且e∈(,1),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  )
A.(0,3)B.(3,)
C.(0,3)∪(,+∞)D.(0,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知對(duì),直線與橢圓恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(  )
A.(0, 1)B.(0,5)C.[1,5)D.[1,5)∪(5,+∞)

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