【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=﹣an﹣( )n﹣1+2(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=2nan .
(Ⅰ)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設cn=log2 ,數(shù)列{ }的前n項和為Tn , 求滿足Tn (n∈N*)的n的最大值.
【答案】(Ⅰ)證明:∵Sn=﹣an﹣( )n﹣1+2(n∈N+),當n≥2時,Sn﹣1=﹣an﹣1﹣( )n﹣2+2(n∈N+),
∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+( )n﹣1 ,
化為2nan=2n﹣1an﹣1+1.
∵bn=2nan . ∴bn=bn﹣1+1,即當n≥2時,bn﹣bn﹣1=1.
令n=1,可得S1=﹣a1﹣1+2=a1 , 即a1= .
又b1=2a1=1,∴數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列.
于是bn=1+(n﹣1)1=n=2nan ,
∴an= .
(Ⅱ)解:∵cn=log2 =n,
∴ = ﹣ ,
∴Tn=(1﹣ )+( ﹣ )+…( ﹣ )=1+ ﹣ ﹣ ,
由Tn ,得1+ ﹣ ﹣ ,即 + > ,
∵f(n)= + 單調遞減,f(4)= ,f(5)= ,
∴n的最大值為4.
【解析】(Ⅰ)利用“當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1”及其等差數(shù)列的通項公式即可得出.(Ⅱ)先求通項,再利用裂項法求和,進而解不等式,即可求得正整數(shù)n的最大值.
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【題目】定義函數(shù)F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|)(a,b∈R),設函數(shù)f(x)=﹣x2+2x+4,g(x)=x+2(x∈R)函數(shù)F(f(x),g(x))的最大值與零點之和為( )
A.4
B.6
C.
D.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的短軸長為2,離心率e= .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A,B,與圓x2+y2= 相切于點M.
(i)證明:OA⊥OB(O為坐標原點);
(ii)設λ= ,求實數(shù)λ的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和,且a10=19,S10=100;數(shù)列{bn}對任意n∈N* , 總有b1b2b3…bn﹣1bn=an+2成立.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(Ⅱ)記cn=(﹣1)n ,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
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【題目】如圖,⊙O是以AB為直徑的圓,點C在圓上,在△ABC和△ACD中,∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,DC的延長線與AB的延長線交于點E.若EB=6,EC=6 ,則BC的長為 .
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【題目】如圖是一塊地皮,其中, 是直線段,曲線段是拋物線的一部分,且點是該拋物線的頂點, 所在的直線是該拋物線的對稱軸.經(jīng)測量, km, km, .現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形來建造草坪,其中點在曲線段上,點, 在直線段上,點在直線段上,設km,矩形草坪的面積為km2.
(1)求,并寫出定義域;
(2)當為多少時,矩形草坪的面積最大?
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【題目】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(Ⅰ)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;
(Ⅱ)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記ξ=|X﹣Y|,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ.
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【題目】某大學城校區(qū)與本部校區(qū)之間的駕車單程所需時間為,只與道路暢通狀況有關,對其容量為500的樣本進行統(tǒng)計,結果如下:
(分鐘) | 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數(shù)(次) | 100 | 150 | 200 | 50 |
以這500次駕車單程所需時間的頻率代替某人1次駕車單程所需時間的概率.
(1)求的分布列與;
(2)某天有3位教師獨自駕車從大學城校區(qū)返回本部校區(qū),記表示這3位教師中駕車所用時間少于的人數(shù),求的分布列與;
(3)下周某天張老師將駕車從大學城校區(qū)出發(fā),前往本部校區(qū)做一個50分鐘的講座,結束后立即返回大學城校區(qū),求張老師從離開大學城校區(qū)到返回大學城校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.
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【題目】下列命題中正確的是( )
A.若ξ服從正態(tài)分布N(0,2),且P(ξ>2)=0.4,則P(0<ξ<2)=0.2
B.x=1是x2﹣x=0的必要不充分條件
C.直線ax+y+2=0與ax﹣y+4=0垂直的充要條件為a=±1
D.“若xy=0,則x=0或y=0”的逆否命題為“若x≠0或y≠0,則xy≠0”
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