Question

已知,橢圓C以過點A(1,),兩個焦點為(-1,0)(1,0)?
(1)求橢圓C的方程;
(2)E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值? 

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ)直線EF的斜率為定值,其值為?

解析試題分析：（1）設(shè)橢圓的右焦點，根據(jù)以右焦點為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線x+ y+3=0相切，即可確定橢圓的幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線AE方程代入橢圓方程，利用點A(1，)在橢圓上，可求E的坐標，利用直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，可求F的坐標，從而可得直線EF的斜率，問題得解．
解:(Ⅰ)由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為?
因為A在橢圓上,所以,解得=3,=(舍去)?
所以橢圓方程為  ----------------------5分
(Ⅱ)設(shè)直線AE方程:得,代入得
設(shè)E(,),F(,).因為點A(1,)在橢圓上,所以
,
?
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以代,可得
,
?
所以直線EF的斜率?
即直線EF的斜率為定值,其值為? ---------------------12分
考點：本題主要考查了橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的求解，屬于中檔題。
點評：解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，確定點的坐標，然后結(jié)合已知中斜率的關(guān)系史得到結(jié)論。