Question

【題目】如圖l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F(xiàn)是BC邊上的一點，對角線AC分別交DE、DF于M、N兩點．將ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A點，構(gòu)成如圖2所示的幾何體．
（I）求證：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）試探究：在圖1中，F(xiàn)在什么位置時，能使折起后的幾何體中EF∥平面AMN，并給出證明．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E面A′EF，A′F面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．
（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．
證明如下：當點F為BC的中點時，
在圖（1）中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
所以EF∥AC，
即在圖（2）中有EF∥MN．
又EF面A′MN，MN面A′MN，
所以EF∥面A′MN．
【解析】（Ⅰ）由題意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．在圖（1）中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，從而可得EF∥MN，繼而有EF∥平面AMN．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．