【題目】已知橢圓的長軸長為4,直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)過橢圓的右頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓兩點(點不同于橢圓的右頂點),證明:直線過定點.

【答案】(1);(2)

【解析】分析:(1)由橢圓的對稱性知兩點關(guān)于原點對稱,不妨設在第一象限,由弦長可得,代入,再結(jié)合可解得;

(2)只要設出直線方程:,代入橢圓方程可解得M點坐標,同理可解得N點坐標,由兩點求出直線MN的方程(注意分類討論MN垂直和不垂直兩種情形),通過直線方程可觀察出直線所過定點.

詳解:(1)根據(jù)題意,設直線與題意交于兩點.不妨設點在第一象限,又長為,

,∴,可得

,

,故題意的標準方程為,

(2)顯然直線的斜率存在且不為0,設,

,∴

同理可得

時,,所以直線的方程為

整理得,所以直線

時,直線的方程為,直線也過點

所以直線過定點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】對于函數(shù),下列說法正確的是____________

①函數(shù)的定義域為

②函數(shù)為奇函數(shù);

③函數(shù)的值域為;

④函數(shù)在定義域上為增函數(shù);

⑤對于,均有

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩同學5次綜合測評的成績?nèi)缜o葉圖所示.

9

8

8

3

3

7

2

1

0

9

9

老師在計算甲、乙兩人平均分時,發(fā)現(xiàn)乙同學成績的一個數(shù)字無法看清.若從{0,1,2,…,9}隨機取一個數(shù)字代替,則乙的平均成績超過甲的平均成績的概率為( 。
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù)f(x)=ax2+lnx.
(Ⅰ)當a=﹣1時,求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)已知a<0,若函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-的下方,求a的取值范圍;
(Ⅲ)記f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù).若a=1,試問:在區(qū)間[1,10]上是否存在k(k<100)個正數(shù)x1 , x2 , x3…xk , 使得f′(x1)+f′(x2)+f′(x3)+…+f′(xk)≥2012成立?請證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖l,在正方形ABCD中,AB=2,E是AB邊的中點,F(xiàn)是BC邊上的一點,對角線AC分別交DE、DF于M、N兩點.將ADAE,CDCF折起,使A、C重合于A點,構(gòu)成如圖2所示的幾何體.
(I)求證:A′D⊥面A′EF;
(Ⅱ)試探究:在圖1中,F(xiàn)在什么位置時,能使折起后的幾何體中EF∥平面AMN,并給出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】,函數(shù),函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當時,不等式恒成立,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c.
(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知,且f(x)=

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)當時,f(x)的最小值是-4,求此時函數(shù)f(x)的最大值,并求出相應的x的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;

(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值;

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.

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