已知橢圓的一個焦點為，過點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為；為橢圓上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若，且，求四邊形的面積的最大值和最小值.

(Ⅰ)  ；(Ⅱ) 2，

解析試題分析：(Ⅰ)依題意可得橢圓C的一個焦點為知，在代入點即可得得到一個關(guān)于的等式從而可求出的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ) 由于，所以直線都過F點，從而又因為所以直線與直線相互垂直.所以四邊形的面積為.故關(guān)鍵是求出線段的長度.首先要分類存在垂直于軸的情況，和不垂直于軸的情況兩種.前者好求.后者通過假設(shè)一條直線聯(lián)立橢圓方程寫出弦長的式子，類似地寫出另一條所得到的弦長.通過利用基本不等式即可求得面積的范圍.從而再結(jié)合垂直于軸的情況，求出最大值與最小值.
試題解析：（Ⅰ）由題橢圓C的一個焦點為知故可設(shè)橢圓方程為，過焦點且與長軸垂直的直線方程為，設(shè)此直線與橢圓交于A,B兩點則，又，所以，又，聯(lián)立求得，，故橢圓方程為.
（Ⅱ）由，知，點共線，點共線，
即直線經(jīng)過橢圓焦點。又知，
（i）當(dāng)斜率為零或不存在時，
（ii）當(dāng)直線存在且不為零時，可設(shè)斜率為，則由知，的斜率為
所以：直線方程為：。直線方程為:
將直線方程代入橢圓方程，消去并化簡整理可得
，
設(shè)坐標(biāo)為，則，…………①
從而，將①代入化簡得
，
將中換成可得,
所以=.
令，因為，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標(biāo)原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

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已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，過橢圓上的一點作軸的垂線交軸于點，若點滿足，，連結(jié)交于點，求證：.

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已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,點A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

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給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是.
（1）若橢圓C上一動點滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，求P點的坐標(biāo)；
（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

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已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為，且點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點，求證：為定值．

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已知橢圓C的左、右焦點分別為，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）線段是橢圓過點的弦，且，求內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)的值.

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已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線與橢圓有公共焦點，設(shè)與軸交于點，不同的兩點、在 上（、與不重合），且滿足，求的取值范圍.

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