給定橢圓,稱圓心在坐標原點O,半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個焦點分別是.
(1)若橢圓C上一動點滿足,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點作直線l與橢圓C只有一個交點,且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為,求P點的坐標;
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.

(1)橢圓方程,伴隨圓方程;(2);(3)存在,

解析試題分析:(1)這是基本題,題設(shè)實質(zhì)已知,要求橢圓標準方程,已知圓心及半徑求圓的方程;(2)為了求點坐標,我們可設(shè)直線方程為,直線與橢圓只有一個公共點,即直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組,這個方程組只有一個解,消元后利用可得的一個方程,又直線截圓所得弦長為,又得一個關(guān)于的方程,聯(lián)立可解得;(3)這是解析幾何中的存在性問題,解決方法都是假設(shè)存在,然后去求出這個,能求出就說明存在,不能求出就說明不存在.解法如下,寫出過點的直線方程,求出圓心到這條直線的距離為,可見當圓半徑不小于3時,圓上的點到這條直線的最短距離為0,即當時,,但由于,無解,當圓半徑小于3時,圓上的點到這條直線的最短距離為,由此得,又有,可解得,故存在.
試題解析:(1)由題意:,則,所以橢圓的方程為,  2分
其“伴隨圓”的方程為.         4分
(2)設(shè)直線的方程為
       6分
則有, ①      7分
由直線截橢圓的“伴隨圓”所得弦長為,可得
,得 ②          8分
由①②得,又,故,所以點坐標為.   10分
(3)過的直線的方程為:,
,得        12分
由于圓心到直線的距離為
,             14分
時,,但,所以,等式不能成立;
時,,
所以
因為,所以,
.所以           18分

練習冊系列答案
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(Ⅰ)求橢圓方程;
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