Question

【題目】設(shè)動(dòng)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，若點(diǎn)在線段上，且滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線與交于， 兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，若直線， 的斜率之和為定值3，求證：直線必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)P、M的坐標(biāo)，根據(jù)條件得兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再代入點(diǎn)滿足的方程，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程；（2）由題意，得．即得,再將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得

最后根據(jù)點(diǎn)斜式特點(diǎn)得定點(diǎn).

試題解析： 1）設(shè)點(diǎn)P、M的坐標(biāo)分別為 (x，y)、 (x0，y0)，由，得

∴

由點(diǎn)M在圓上，故，代入得．

∴ 點(diǎn)P的軌跡C的方程為 ．

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為： ，

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (x0，y0)、(x0， y0)，

由題意，得，解得，

所以直線l的方程為： ．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線l的方程為y=kx+b，與C聯(lián)立，

消元得．

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、 (x2，y2)，

則， （*）．

由題意，得．

將y1=kx1+b和y2=kx2+b代入上式，可得,

所以．（**）

將（*）代入（**），化簡(jiǎn)得，解得，

代入直線l方程，得．

不論b怎么變化，當(dāng)=0即x=時(shí)， ．

綜上所述，直線l恒過(guò)定點(diǎn)．