Question

【題目】定義：曲線稱為橢圓的“倒橢圓”．已知橢圓，它的“倒橢圓”．

（1）寫出“倒橢圓”的一條對(duì)稱軸、一個(gè)對(duì)稱中心；并寫出其上動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)x的取值范圍．

（2）過“倒橢圓”上的點(diǎn)P，作直線PA垂直于x軸且垂足為點(diǎn)A，作直線PB垂直于y軸且垂足為點(diǎn)B，求證：直線AB與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（3）是否存在直線l與橢圓無公共點(diǎn)，且與“倒橢圓”無公共點(diǎn)？若存在，請(qǐng)給出滿足條件的直線l，并說明理由；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱軸為a軸（或y軸），對(duì)稱中心為；；

（2）證明見解析；

（3）不存在；理由見解析；

【解析】

（1）根據(jù)題干中的新定義“倒橢圓”即可求解。

（2）根據(jù)新定義得，，求出；再與聯(lián)立，通過判別式即可證明。

（3）設(shè)l上任意一點(diǎn)，Q不是l與橢圓的公共點(diǎn)，則；Q不是l與倒橢圓的公共點(diǎn)， ；從而Q不是l與、的公共點(diǎn)，則必有，與或，即不存在。

（1）對(duì)稱軸為a軸（或y軸），對(duì)稱中心為；

∵，∴．

（2）設(shè)，其中，且，則，，

于是，代入，得，

，

由可得，從而，∴直線AB與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（3）設(shè)l上任意一點(diǎn)，

若Q是l與橢圓的公共點(diǎn)，則，

也即Q不是l與橢圓的公共點(diǎn)，則必有；

同理，若Q是l與倒橢圓的公共點(diǎn)，則，

也即Q不是l與倒橢圓的公共點(diǎn)，則必有；

從而Q不是l與、的公共點(diǎn)，則必有，

對(duì)于l上任意一點(diǎn)，或，∴不存在符合題意的直線l．