Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)其傾斜角恰好為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，基本方法為待定系數(shù)法，即列兩個(gè)獨(dú)立條件，解出，（2）先化簡(jiǎn)等式：得，其中為線段的中點(diǎn)為，即所以直線為直線的垂直平分線，直線的垂直平分線過點(diǎn)，以下轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦問題，可利用韋達(dá)定理，也可利用點(diǎn)差法，得出t的函數(shù)解析式，根據(jù)對(duì)應(yīng)參數(shù)（直線斜率或中點(diǎn)坐標(biāo)）的取值范圍確定實(shí)數(shù)的取值范圍

試題解析：（1）由題意知，又，所以，

，所以橢圓的方程為： ；

（2）設(shè)直線的方程為：，代入，得：

，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，

則 ，

由 得： ，

所以直線為直線的垂直平分線，

直線的方程為： ，

令得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

因?yàn)?/span>， 所以，所以．

所以線段上存在點(diǎn) 使得，其中．