【題目】已知圓M:(x+m)2+y2=4n2(m,n>0且m≠n),點(diǎn)N(m,0),P是圓M上的動(dòng)點(diǎn),線段PN的垂直平分線交直線PM于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.
(1)討論曲線C的形狀,并求其方程;
(2)若m=1,且△QMN面積的最大值為.直線l過點(diǎn)N且不垂直于坐標(biāo)軸,l與曲線C交于A,B,點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D.求證:直線AD過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)曲線的形狀答案不唯一,見解析,曲線的方程;(2)見解析,定點(diǎn)(4,0)
【解析】
(1)當(dāng)m>n,由題意得QN-QM=2n<2m,此時(shí)Q點(diǎn)軌跡為雙曲線的左支;當(dāng)m<n,
QN+QM=2n>2m,此時(shí)Q點(diǎn)軌跡為橢圓.根據(jù)概念直接求軌跡方程即可得解.
(2)由題意得Q點(diǎn)方程為,N(1,0),設(shè)直線l:x=my+1,A(x1,y1),
B(x2,y2),D(x2,﹣y2),聯(lián)立方程得,,表示出直線AD的方程后即可得直線恒過(4,0),即可得證.
(1)當(dāng)m>n,即N點(diǎn)在圓M外時(shí),軌跡是雙曲線,如圖:
因?yàn)?/span>QP=QN,則QN-QM=QP-QM=MP=r=2n<MN=2m,
所以點(diǎn)Q的軌跡是以M,N為焦點(diǎn),以2n為實(shí)軸長的雙曲線的左支,則Q點(diǎn)軌跡方程為;
當(dāng)m<n,即N點(diǎn)在圓M內(nèi)時(shí),軌跡是橢圓,如圖:
因?yàn)?/span>QP=QN,則QN+QM=QP+QM=MP=r=2n>MN=2m,所以點(diǎn)Q的軌跡是以M,N為焦點(diǎn),以2n為長軸長的橢圓,則Q點(diǎn)軌跡方程為;
(2)因?yàn)?/span>△QMN的面積有最大值,故此時(shí)Q點(diǎn)軌跡是橢圓,即Q點(diǎn)所在方程為,
且當(dāng)Q點(diǎn)為上(下)短軸頂點(diǎn)時(shí)△QMN的面積最大,即有2,
解得n2=4,
所以Q點(diǎn)方程為,N(1,0),設(shè)直線l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),D(x2,﹣y2),
聯(lián)立,整理得,則,,
因?yàn)?/span>,
所以直線AD的方程為,
令y=0,得,
則直線AD必過點(diǎn)(4,0),證畢.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】普通高中國家助學(xué)金,用于資助家庭困難的在校高中生.在本地,助學(xué)金分一等和二等兩類,一等助學(xué)金每學(xué)期1250元,二等助學(xué)金每學(xué)期750元,并規(guī)定:屬于農(nóng)村建檔立卡戶的學(xué)生評一等助學(xué)金.某班有10名獲得助學(xué)金的貧困學(xué)生,其中有3名屬于農(nóng)村建檔立卡戶,這10名學(xué)生中有4名獲一等助學(xué)金,另6名獲二等助學(xué)金.現(xiàn)從這10名學(xué)生中任選3名參加座談會(huì).
(Ⅰ)若事件A表示“選出的3名同學(xué)既有建檔立卡戶學(xué)生,又有非建檔立卡戶學(xué)生”,求A的概率;
(Ⅱ)設(shè)X為選出的3名同學(xué)一學(xué)期獲助學(xué)金的總金額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生課外使用手機(jī)的情況,某研究學(xué)習(xí)小組為研究學(xué)校學(xué)生一個(gè)月使用手機(jī)的總時(shí)間,收集了500名學(xué)生2019年12月課余使用手機(jī)的總時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù).從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知這50人中,恰有2名女生的課余使用手機(jī)總時(shí)間在區(qū)間,現(xiàn)在從課余使用手總時(shí)間在樣本對應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,則至少抽到1名女生的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,,.數(shù)列滿足,且.
(1)求的值;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍,A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),且的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)C,直線與軸交于點(diǎn)D,求證:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是的一個(gè)極值點(diǎn)
(1)求實(shí)數(shù)的值,并證明:當(dāng)時(shí),恒成立;
(2)若函數(shù),試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知P(3,)是橢圓C:1上的點(diǎn),Q是P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值.
②當(dāng)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中滿足∠APQ=∠BPQ時(shí),問直線AB的斜率是否為定值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“雙11”促銷活動(dòng)中,某商場為了吸引顧客,搞好促銷活動(dòng),采用“雙色球”定折扣的方式促銷,即:在紅、黃的兩個(gè)紙箱中分別裝有大小完全相同的紅、黃球各5個(gè),每種顏色的5個(gè)球上標(biāo)有1,2,3,4,5等5個(gè)數(shù)字,顧客結(jié)賬時(shí),先分別從紅、黃的兩個(gè)紙箱中各取一球,按兩個(gè)球的數(shù)字之和為折扣打折,如,就按3折付款,并規(guī)定取球后不再增加商品.按此規(guī)定,顧客享有6折及以下折扣的概率是( 。
A.B.C.D.
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