【題目】設(shè)m為整數(shù),.整數(shù)數(shù)列滿足:不全為零,且對(duì)任意正整數(shù)n,均有.證明:若存在整數(shù)r、s(r>s≥2)使得,則.
【答案】證明見解析
【解析】
首先假設(shè)互素,根據(jù)題目所給遞推關(guān)系得到,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得對(duì)任意整數(shù)n≥3,有成立,通過證明成立,得到,從而證得結(jié)論成立.
不妨設(shè)互素(否則,若,則與互素,并且用代替條件與結(jié)論均不改變).
由數(shù)列遞推關(guān)系知①
以下證明:對(duì)任意整數(shù)n≥3,有②
事實(shí)上,當(dāng)n=3時(shí)②顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)②成立(其中k為某個(gè)大于2的整數(shù)),注意到①,有,結(jié)合歸納假設(shè)知
,
即n=k+1時(shí)②也成立.因此②對(duì)任意整數(shù)n≥3均成立.
注意,當(dāng)時(shí),②對(duì)n=2也成立.
設(shè)整數(shù)r、s(r>s≥2),滿足.
若,由②對(duì)n≥2均成立,可知
,
即,即③
若,則,故r>s≥3.
此時(shí)由于②對(duì)n≥3均成立,故類似可知③仍成立.
再證明a2,m互素:
事實(shí)上,假如a2與m存在一個(gè)公共素因子p,則由①得p為的公因子,而互素,故,這與矛盾.
因此,由③得.又r>s,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知過點(diǎn)且斜率為1的直線與曲線:(是參數(shù))交于兩點(diǎn),與直線:交于點(diǎn).
(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若的中點(diǎn)為,比較與的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的7個(gè)問題中,選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題,即停止答題,晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.7,且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了5個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于( )
A.0.07497B.0.92503C.0.1323D.0.6174
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【題目】在矩形ABCD中,,,沿矩形對(duì)角線BD將折起形成四面體ABCD,在這個(gè)過程中,現(xiàn)在下面四個(gè)結(jié)論:①在四面體ABCD中,當(dāng)時(shí),;②四面體ABCD的體積的最大值為;③在四面體ABCD中,BC與平面ABD所成角可能為;④四面體ABCD的外接球的體積為定值.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為( )
A.①④B.①②C.①②④D.②③④
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【題目】隨機(jī)取一個(gè)由0和1構(gòu)成的8位數(shù),它的偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的概率為____________ .
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【題目】如圖,點(diǎn)是正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.點(diǎn)存在無數(shù)個(gè)位置滿足
B.若正方體的棱長(zhǎng)為1,三棱錐的體積最大值為
C.在線段上存在點(diǎn),使異面直線與所成的角是
D.點(diǎn)存在無數(shù)個(gè)位置滿足到直線和直線的距離相等.
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【題目】已知雙曲線: 的左、右焦點(diǎn)分別為, 為坐標(biāo)原點(diǎn), 是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線分別交雙曲線左、右支于另一點(diǎn), ,且,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖所示,四邊形為菱形,,二面角為直二面角,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求直線與平面所成的角.
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