【題目】設(shè)m為整數(shù),.整數(shù)數(shù)列滿足:不全為零,且對(duì)任意正整數(shù)n,均有.證明:若存在整數(shù)r、s(r>s≥2)使得,則.

【答案】證明見解析

【解析】

首先假設(shè)互素,根據(jù)題目所給遞推關(guān)系得到,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得對(duì)任意整數(shù)n≥3,有成立,通過證明成立,得到,從而證得結(jié)論成立.

不妨設(shè)互素(否則,若,則互素,并且用代替條件與結(jié)論均不改變).

由數(shù)列遞推關(guān)系知

以下證明:對(duì)任意整數(shù)n≥3,有

事實(shí)上,當(dāng)n=3時(shí)②顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)②成立(其中k為某個(gè)大于2的整數(shù)),注意到①,有,結(jié)合歸納假設(shè)知

,

n=k+1時(shí)②也成立.因此②對(duì)任意整數(shù)n≥3均成立.

注意,當(dāng)時(shí),②對(duì)n=2也成立.

設(shè)整數(shù)r、s(r>s≥2),滿足.

,由②對(duì)n≥2均成立,可知

,

,即

,則,故r>s≥3.

此時(shí)由于②對(duì)n≥3均成立,故類似可知③仍成立.

再證明a2m互素:

事實(shí)上,假如a2m存在一個(gè)公共素因子p,則由①得p的公因子,而互素,故,這與矛盾.

因此,由③得.r>s,所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;

2)若的中點(diǎn)為,比較的大小關(guān)系,并說明理由.

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A.①④B.①②C.①②④D.②③④

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A.點(diǎn)存在無數(shù)個(gè)位置滿足

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A. B. C. D.

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(Ⅰ)求證:;

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