【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓M過坐標原點O且圓心在曲線 上.
(1)若圓M分別與x軸、y軸交于點A、B(不同于原點O),求證:△AOB的面積為定值;
(2)設(shè)直線 與圓M 交于不同的兩點C,D,且|OC|=|OD|,求圓M的方程;
(3)設(shè)直線 與(Ⅱ)中所求圓M交于點E、F,P為直線x=5上的動點,直線PE,PF與圓M的另一個交點分別為G,H,求證:直線GH過定點.

【答案】
(1)解:由題意可設(shè)圓M的方程為 ,

令x=0,得 ;令y=0,得x=2t.

(定值)


(2)解:由|OC|=|OD|,知OM⊥l.

所以 ,解得t=±1.

當t=1時,圓心M 到直線 的距離 小于半徑,符合題意;

當t=﹣1時,圓心M 到直線 的距離 大于半徑,不符合題意.

所以,所求圓M的方程為


(3)解:設(shè)P(5,y0),G(x1,y1),H(x2,y2),又知 ,

所以 ,

因為3kPE=kPF,所以

, 代入上式,

整理得2x1x2﹣7(x1+x2)+20=0.①

設(shè)直線GH的方程為y=kx+b,代入

整理得

所以 ,

代入①式,并整理得 ,

,

解得

時,直線GH的方程為 ,過定點 ;

時,直線GH的方程為 ,過定點

檢驗定點 和E,F(xiàn)共線,不合題意,舍去.

故GH過定點


【解析】(1)由題意可設(shè)圓M的方程為 ,求出圓M分別與x軸、y軸交于點A、B的坐標,利用面積公式,可得:△AOB的面積為定值;(2)由|OC|=|OD|,知OM⊥l,解得t=±1,再驗證,即可求圓M的方程;(3)設(shè)P(5,y0),G(x1 , y1),H(x2 , y2),整理得2x1x2﹣7(x1+x2)+20=0.①設(shè)直線GH的方程為y=kx+b,代入 ,利用韋達定理,確定直線方程,即可得出結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的標準方程的相關(guān)知識,掌握圓的標準方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程.

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體積(升/件)

重量(公斤/件)

利潤(元/件)

20

10

8

10

20

10

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