【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有零點(diǎn),其實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí), .
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論兩種情況,分別研究函數(shù)的單調(diào)性,求其最值,結(jié)合函數(shù)的圖象和零點(diǎn)定理即可求出的取值范圍;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,令,令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論求出函數(shù)的最值,即可證明.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.由,得.
①當(dāng)時(shí), 恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),則時(shí), 時(shí), .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當(dāng).當(dāng),即時(shí),又,所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn).
綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(2)要證明當(dāng)時(shí), ,即證明當(dāng)時(shí), ,即,令,則,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí), .于是,當(dāng)時(shí), .①令,則.當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí), .于是,當(dāng)時(shí), .②顯然,不等式①、②中的等號(hào)不能同時(shí)成立.
故當(dāng)時(shí), ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個(gè)條件:
①對(duì)任意正數(shù)a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);
②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0;
③f(2)=﹣1
(I)求f(1)和 的值;
(II)試用單調(diào)性定義證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(III)求滿足f(log4x)>2的x的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(2)=0,則不等式x5f(x)>0的解集為( )
A.(﹣2,0)∪(2,+∞)
B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2)
C.(﹣2,0)∪(0,2)
D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知
(1)若 ,且函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) , 且存在 滿足 ,令函數(shù) ,試判斷 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)+g(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)+g(x)的奇偶性,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,ABCD為矩形,△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分別為PC和BD的中點(diǎn).
(1)證明:EF∥面PAD;
(2)證明:面PDC⊥面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且圓心在曲線 上.
(1)若圓M分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B(不同于原點(diǎn)O),求證:△AOB的面積為定值;
(2)設(shè)直線 與圓M 交于不同的兩點(diǎn)C,D,且|OC|=|OD|,求圓M的方程;
(3)設(shè)直線 與(Ⅱ)中所求圓M交于點(diǎn)E、F,P為直線x=5上的動(dòng)點(diǎn),直線PE,PF與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)分別為G,H,求證:直線GH過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足an= (n≥2,n∈N*)
(1)求證:數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)存在正整數(shù)k,使(1+S1)(1+S1)…(1+Sn)≥k 對(duì)于一切n∈N*都成立,求k的最大值.
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