Question

【題目】將個數，，…，的連乘積記為，將個數，，…，的和記為．（）

（1）若數列滿足，，，設，，求；

（2）用表示不超過的最大整數，例如，，．若數列滿足，，，求的值；

（3）設定義在正整數集上的函數滿足：當（）時，，問是否存在正整數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由（已知）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）結合題意，處理得到，可以采取逐項消元法，計算結果，即可。（2）處理得到，求和，相互消去，即可。（3）結合題意，計算發(fā)現，故最后一項必定出現在1+2+3+…+17=153項之后，建立關于n的等式，發(fā)現存在正整數n，即可。

解：（1）由，得,或

且，

所以．又，所以，．

從而=1.

（2）由，，因為，

所以，，

所以，，

因為，所以．

（3）若存在正整數n，則由已知得，

，且，

因此所求和的最后一項必定出現在1+2+3+…+17=153項之后，且，共有個，

所以，,

所以，，解得．

所以存在正整數n=166，使得.