【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是矩形,是等邊三角形,平面平面,,為棱上一點,的中點,四棱錐的體積為.

(1)若為棱的中點,的中點,求證:平面平面;

(2)是否存在點,使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為?若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)存在,點位于的靠近點的三等分點.

【解析】

1)根據(jù)面面平行的判定定理,即可證明結(jié)論成立;

2)假設(shè)存在點滿足題意,根據(jù)題中條件,先求出的長,再以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,過點平行的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,得到,,,設(shè),分別表示出平面與平面的一個法向量,根據(jù)向量夾角余弦值,求出,即可得出結(jié)果.

(1)證明:因為分別是、的中點,

所以,

在矩形中,

所以,

又因為、分別是、的中點,

所以,

又因為,

平面平面,

所以平面平面.

(2)解:假設(shè)棱上存在點滿足題意.

在等邊三角形中,的中點,

于是,

又平面平面,

平面平面,

平面

所以平面,

所以是四棱錐的高,

設(shè),則,

所以,

所以

為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,過點平行的直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

,,,

設(shè),

,,

設(shè)平面的一個法向量為,有

,

,則,

易知平面的一個法向量,

所以,

因為

所以,

所以存在點,位于的靠近點的三等分點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),現(xiàn)得到他們在培訓(xùn)期間參加的8次比賽成績?nèi)缦拢杭祝?/span>81,79,9588,84,93,78,82;乙:80,83,92,85,75,9580,90.

1)試畫出甲、乙兩位同學(xué)比賽成績的莖葉圖,你能從莖葉圖中獲取哪些信息?(不少于三條)

2)在甲同學(xué)的8次比賽成績中,從不小于80分的成績中隨機抽取2個成績,列出所有可能的結(jié)果,并求抽出的2個成績均大于85分的概率.

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(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;

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3

4

5

6

25

3

4

45

1請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;

2已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)1求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?

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【題目】給出下列四個命題:

①命題“若,則”的逆否命題;

②“,使得”的否定是:“,均有”;

③命題“”是“”的充分不必要條件;

,為真命題.

其中真命題的序號是________.(填寫所有真命題的序號)

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