【題目】已知函數(shù),.
當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
當(dāng)時(shí),曲線和曲線是否存在公共切線?并說明理由.
【答案】(1);(2)存在公共切線,理由詳見解析.
【解析】
(1)構(gòu)造函數(shù),求出其最大值,解不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)假設(shè)存在這樣的直線且直線與曲線和曲線分別相切與點(diǎn).分別求出兩條切線方程,根據(jù)斜率與縱截距建立方程組,減元后得到,構(gòu)造新函數(shù)研究單調(diào)性與極值即可.
解:令,則.
若,則,若,則.
所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
所以是的極大值點(diǎn),也是的最大值點(diǎn),即.
若恒成立,則只需,解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
假設(shè)存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點(diǎn).
由,得.
曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.
同理可得,
曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.
所以則,即
構(gòu)造函數(shù)
存在直線與曲線和曲線相切,
等價(jià)于函數(shù)在上有零點(diǎn)
對于.
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以在上是減函數(shù).
又,,所以存在,使得,即.
且當(dāng),時(shí),當(dāng)時(shí),.
綜上,在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
所以是的極大值,也是最大值,且.
又,,所以在內(nèi)和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).
故假設(shè)成立,即曲線和曲線存在公共切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面ABCD,底部ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;
(Ⅲ)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,與交于點(diǎn),,,.
(Ⅰ)在線段上找一點(diǎn),使得平面,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)若,,,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,焦點(diǎn)為、,直線經(jīng)過焦點(diǎn),并與相交于、兩點(diǎn).
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)在上是否存在、兩點(diǎn),滿足//,?若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:在區(qū)間上只有唯一的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn),過作拋物線的動(dòng)弦, ,并設(shè)它們的斜率分別為, .
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若,求證:直線的斜率為定值,并求出其值;
(III)若,求證:直線恒過定點(diǎn),并求出其坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我,我報(bào)父母恩”的活動(dòng),對六個(gè)年級(一年級到六年級的年級代碼分別為1,2…,6)的學(xué)生給父母洗腳的百分比y%進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),繪制得到下面的散點(diǎn)圖.
(1)由散點(diǎn)圖看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并據(jù)此預(yù)計(jì)該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年(年級代碼為7)給父母洗腳的百分比.
附注:參考數(shù)據(jù):
參考公式:相關(guān)系數(shù),若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為= ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C1:x2=1(a>1)與拋物線C2:x2=4y有相同焦點(diǎn)F1.
(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線l1過橢圓C1的另一焦點(diǎn)F2,且與拋物線C2相切于第一象限的點(diǎn)A,設(shè)平行l1的直線l交橢圓C1于B,C兩點(diǎn),當(dāng)△OBC面積最大時(shí),求直線l的方程.
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