Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在點（）處的切線方程；

（2）證明：當時，。

Answer 1

【答案】（1） (2)見解析

【解析】

（1），由f′（0）=2，可得切線斜率k=2，即可得到切線方程；

（2）可得=﹣．可得f（x）在（﹣），（2，+∞）遞減，在（﹣，2）遞增，注意到a≥1時，函數(shù)g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）單調遞增，且g（2）=4a+1＞0，只需（x）≥﹣e，即可．

（1）=﹣．

∴f′（0）=2，即曲線y=f（x）在點（0，﹣1）處的切線斜率k=2，

∴曲線y=f（x）在點（0，﹣1）處的切線方程方程為y﹣（﹣1）=2x．

即2x﹣y﹣1=0為所求．

（2）證明：函數(shù)f（x）的定義域為：R，

可得=﹣．

令f′（x）=0，可得，

當x時，f′（x）＜0，x時，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0．

∴f（x）在（﹣），（2，+∞）遞減，在（﹣，2）遞增，

注意到a≥1時，函數(shù)g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）單調遞增，且g（2）=4a+1＞0

函數(shù)f（x）的圖象如下：

∵a≥1，∴，則≥﹣e，

∴f（x）≥﹣e，

∴當a≥1時，f（x）+e≥0．