【題目】已知正三棱柱中，，，點為的中點，點在線段上．

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）是否存在點，使二面角等于？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，且.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運用線面垂直的性質(zhì)定理推證；（2）借助題設(shè)運用空間向量的數(shù)量積公式建立方程求解.

試題解析：

（1）證明：連接，

因為為正三棱柱，所以為正三角形，

又因為為的中點，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，所以．

因為，，，所以，，

所以在中，，

在中，，所以，即，

又，

所以平面，平面，所以．

（2）假設(shè)存在點滿足條件，設(shè)，

取的中點，連接，則平面，

所以，，

分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

所以，，，，

設(shè)平面的一個法向量為，

則即令，得，

同理，平面的一個法向量為，

則即取，得，

所以，解得，

故存在點，當(dāng)時，二面角等于．

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【題目】某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件．

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（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

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（2）若，證明： ；

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【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

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（Ⅲ）求整數(shù)的值，使函數(shù)在區(qū)間上有零點．

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(2)求正三棱柱的體積；

(3)證明： 平面.

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（2）設(shè)函數(shù)（）的兩個極值點，（）恰為的零點．當(dāng)時，求的最小值．

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(1)求從這12人中隨機選取1人，該人不是“滿意觀眾”的概率；

(2)從本次所記錄的滿意度評分大于9.1的“滿意觀眾”中隨機抽取2人，求這2人得分不同的概率.

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