Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對任意實數(shù)，關(guān)于的方程：總有實數(shù)解，求的取值范圍；

（2）若，求使關(guān)于的方程：有三個實數(shù)解的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得知函數(shù)的值域為，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上的值域，以及該函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出，從而可得出實數(shù)的取值范圍；

（2）由題意得出，可知不是方程的根，由參變量分離法得出，令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個公共點，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）原問題等價為函數(shù)的值域為.

當(dāng)時，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為；

當(dāng)時，，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時.

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.

由題意可得，.

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（2）當(dāng)時，，可知不是方程的根，

當(dāng)時，由，得，令，

則，所以，直線與函數(shù)的圖象有三個公共點.

當(dāng)時，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，此時，函數(shù)取得最小值，即；

當(dāng)時，，

由于函數(shù)和函數(shù)都是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

作出函數(shù)和直線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，

因此，實數(shù)的取值范圍是.