Question

【題目】已知函數(shù)，都在處取得最小值.

（1）求的值；

（2）設(shè)函數(shù)，的極值點之和落在區(qū)間，，求的值.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1)先求 ，再求 ，列式可得導(dǎo)函數(shù)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，得到最小值取法，即得 ，再根據(jù)在 處取得最小值得a，最后求的值；(2)求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理得確定零點個數(shù)及其范圍，最后確定極值點之和范圍，進而得到k的值.

詳解：（1），令得，則，的變化情況如下表：

	-		+
		極小值

∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，∴，；

當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，在沒有最小值，當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，有最小值，

∴.

（2），，設(shè)，

∵，∴當(dāng)時，即單調(diào)遞減，

當(dāng)時，即單調(diào)遞增，

由（1）得，∴時，，單調(diào)遞增.

時，，單調(diào)遞減，∴在有唯一極大值點；

∵，，在單調(diào)遞增，

∴在存在唯一實數(shù)，使得，

∴時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，

∴函數(shù)在有唯一極小值點；

∵，∴，，

∵，，

∴存在自然數(shù)，使得函數(shù)的所有極值點之和.