Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為菱形， 為正三角形，且分別為的中點， 平面， 平面．

（1）求證： 平面；

（2）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）證明：AD⊥平面PEB，利用四邊形ABCD為菱形，可得AD∥BC，即可證明BC⊥平面PEB；
（2）以E為原點，建立坐標系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求EF與平面PDC所成角的正弦值．

試題解析：

（1）證明：因為平面， 平面，

所以，

又平面平面，所以平面，

由四邊形菱形，得，

所以平面．

（2）解：

以為原點， 分別為軸建立空間直角坐標系，

不妨設(shè)菱形的邊長為2，則，

，

則點，

，

設(shè)平面的法向量為，

則由，解得，

不妨令，得；

又，

所以與平面所成角的正弦值為．