【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面ABCD，，且.

（1）求直線AD和平面AEF所成角的大�。�

（2）求二面角E-AF-D的平面角的大小.

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)根據(jù)線段的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值，即可計(jì)算出線面角的大�。�

(2)計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，通過(guò)平面法向量的夾角的余弦值，計(jì)算出二面角的大小.

解：（1）因?yàn)?/span>，所以B，E，F，D四點(diǎn)共面，

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是菱形，所以，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向?yàn)?/span>x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，

則，，

設(shè)為平面AEF的一個(gè)法向量，

則有：，即，令可得，

設(shè)直線AD和平面AEF所成角為，則，

所以直線AD和平面AEF所成角為.

（2）由（1）可知，平面AEF的一個(gè)法向量為

設(shè)為平面ADF的一個(gè)法向量，

則有：，即，令可得，，

，

所以二面角E-AF-D的平面角為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中垂線為.若直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，求的最小值.

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（Ⅰ）估計(jì)被調(diào)查的員工的滿(mǎn)意程度的中位數(shù)；（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（Ⅱ）若按照分層抽樣從，中隨機(jī)抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取4人，記分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）以頻率估計(jì)概率，若該研究人員從全國(guó)國(guó)企員工中隨機(jī)抽取人作調(diào)查，記成績(jī)?cè)?/span>，的人數(shù)為，若，求的最大值.

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時(shí)間區(qū)間

每單收入（元）

6

5.5

6

6.4

5.5

6.5

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值，并求這個(gè)外賣(mài)小哥送這50單獲得的收入；

（Ⅱ）在這個(gè)外賣(mài)小哥送出的50單外賣(mài)中男性訂了25單，且男性訂的外賣(mài)中有20單帶飲品，女性訂的外賣(mài)中有10單帶飲品，請(qǐng)完成下面的列聯(lián)表，并回答是否有的把握認(rèn)為“帶飲品和男女性別有關(guān)”？

帶飲品

不帶飲品

總計(jì)

男

女

總計(jì)

附：

0.050

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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A. B.

C. D.

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(1)求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X)；

(2)求甲摸到白色球的概率．

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