【題目】設(shè)整數(shù)是區(qū)間中的不同整數(shù).證明:集合有這樣的子集存在,它的所有元素之和能被整除.

【答案】見解析

【解析】

1.若,則個(gè)整數(shù)都屬于.于是,其中至少有二數(shù)相等,令.

,必有.

于是能被整除.

2.若.不妨設(shè),考慮個(gè)整數(shù),在其中任取三個(gè)數(shù).若均能被整除,則

,

從而,,與矛盾.

中至少有兩個(gè)數(shù)之差不能被整除.

不妨設(shè)的差不能被整除,考慮個(gè)整數(shù):

.

i. 若這個(gè)數(shù)關(guān)于模的余數(shù)都不同,則其中必有一個(gè)數(shù)能被整除,令此數(shù)為.若為偶數(shù),結(jié)論成立;若為奇數(shù),加上即構(gòu)成所需要的子集.

ii. 若這些數(shù)關(guān)于模有兩個(gè)以上的數(shù)同余,則任取其中二數(shù)之差必被整除,對(duì)照這些數(shù)的表達(dá)式知,因?yàn)?/span>不同余,故二同余的數(shù)之差必為原集合中若干數(shù)之和.不妨仍記此和為,以下討論同i.

注:是必要的,例如時(shí),結(jié)論對(duì)(0,6)的子集{1,3,4}不成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱函數(shù)的一個(gè)上界.已知函數(shù), .

(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;

(2)在第(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;

(3)若函數(shù)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè):發(fā)生于甲地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng),其移動(dòng)速度與時(shí)間的函數(shù)圖象圖所示,過(guò)線段上一點(diǎn)作橫軸的垂線,梯形在直線左側(cè)部分的面積即為內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程.

1 當(dāng)時(shí),求的值;

2)將變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái);

3)若乙城位于甲地正南方向,且距甲地,試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到乙城,如果會(huì),在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到乙城?如果不會(huì),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),解不等式;

2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】給出下列命題:

①非零向量滿足,則的夾角為30°;

②將函數(shù) 的圖像按向量 平移,得到函數(shù)的圖像;

③在三角形ABC中,若 ,則三角形ABC為等腰三角形;其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )

A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖,所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大的正方形,若圖中直角三角形兩銳角分別為,,且小正方形與大正方形面積之比為,則的值為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線與曲線相交于,兩點(diǎn).

(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;

(2)若,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四邊形為矩形, 平面 .

(1)求證: ;

(2)若直線平面,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)若, ,求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,.

1)求的坐標(biāo);

2)若直線與兩平行直線,相交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值;

3)記集合直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的面積為,,針對(duì)的不同取值,討論集合中的元素個(gè)數(shù).

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