Question

【題目】給出下列四個命題

已知P為橢圓上任意一點，，是橢圓的兩個焦點，則的范圍是；

已知M是雙曲線上任意一點，是雙曲線的右焦點，則；

已知直線l過拋物線C：的焦點F，且l與C交于，兩點，則；

橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點，是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，若靜放在點的小球小球的半徑忽略不計從點沿直線出發(fā)則經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點時，小球經(jīng)過的路程恰好是4a．

其中正確命題的序號為______請將所有正確命題的序號都填上

Answer 1

【答案】

【解析】

求得橢圓的，運用焦半徑公式和橢圓的范圍，可得結(jié)論；

求得雙曲線的,討論在雙曲線的左支或右支上，求得最小值，即可判斷；

設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，運用韋達定理，即可判斷；

可假設(shè)長軸在軸，短軸在軸，設(shè)為左焦點，是它的右焦點，對球的運動方向討論,沿x軸向左直線運動，沿x軸向右直線運動，及球從A不沿x軸，斜向上或向下運動，討論即可．

解：橢圓的，，，，設(shè)P的橫坐標(biāo)為m，

由焦半徑公式可得則，由，可得

可得所求范圍是，故錯誤；

已知M是雙曲線的，，，若M在雙曲線左支上，可得；

若M在雙曲線右支上，可得，故正確；

已知直線l過拋物線C：的焦點F，設(shè)直線l的方程為，

代入拋物線的方程可得，且l與C交于，兩點，

可得，，則，故正確；

對于，假設(shè)長軸在x軸，短軸在y軸，設(shè)A為左焦點，B是它的右焦點，以下分為三種情況：

球從A沿x軸向左直線運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是；

球從A沿x軸向右直線運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是；

球從A不沿x軸斜向上或向下運動，碰到橢圓上的點C，反彈后經(jīng)過橢圓的另一個焦點B，

再彈到橢圓上一點D，經(jīng)D反彈后經(jīng)過點此時小球經(jīng)過的路程是4a．

綜上所述，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時，

小球經(jīng)過的路程是4a或或故錯誤．

故答案為：．