Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+be﹣x﹣2asinx（a，b∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)b=﹣1時(shí)，若f（x）＞0對任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex+be﹣x，f′（x）=ex﹣ ，

當(dāng)b≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，即此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；

當(dāng)b＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得：x= lnb，

當(dāng)x＜ lnb時(shí)f′（x）＜0恒成立，x＞ lnb時(shí)f′（x）＞0，

∴此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞， lnb）；函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ lnb，+∞）

（2）解：當(dāng)b=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，

又∵當(dāng)x∈（0，π）時(shí)sinx＞0，

∴f（x）＞0對任意x∈（0，π）恒成立等價(jià)于a＜ 恒成立，

記g（x）= ，其中0＜x＜π，則g′（x）= ，

令h（x）=ex（sinx﹣cosx）+e﹣x（sinx+cosx），則h′（x）=2（ex﹣e﹣x）sinx＞0，

∴h（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，h（x）＞h（0）=0，

∴g′（x）＞0恒成立，從而g（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（0），

由洛必達(dá)法則可知，g（0）= = =1，

∴a≤1，即a的取值范圍是（﹣∞，1]

【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)求導(dǎo)可知f′（x）=ex﹣ ，分b≤0與b＞0兩種情況討論即可；（2）通過分離參數(shù)可知條件等價(jià)于a＜ 恒成立，進(jìn)而記g（x）= ，問題轉(zhuǎn)化為求g（x）在（0，π）上的最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛必達(dá)法則計(jì)算可得結(jié)論．