【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若，正實數(shù)，滿足，證明：.

【答案】（1）； （2）2； （3）證明見解析.

【解析】

（1）利用，確定的值，求出到函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；

（3）由，整理得，令，由，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（1）由，可得，所以，，

，

由，得，解得或，

又因為，所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）令，

所以.

當時，因為，所以，所以在上是遞增函數(shù).

又因為，

所以關(guān)于的不等式不能恒成立.

當時，，

令，得.所以當時，；

當時，，

因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故函數(shù)的最大值為，

令，因為，，

又因為在上是減函數(shù)，

所以當時，.所以整數(shù)的最小值為2.

（3）當時，，，

由，得，

從而，

令，則由，得，

可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以，

因此成立，

又因為，所以.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）若經(jīng)過定點的直線與曲線交于兩點， 是線段的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點，試問是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點的極坐標為，直線的極坐標方程為，且過點，曲線的參考方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值；

（2）過點與直線平行的直線與曲線交于兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，，點是線段的中點，將，分別沿，

向上折起，使，重合于點，得到三棱錐．試在三棱錐中，

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知矩形中，，，為的中點，將沿著折起，使得.

（1）求證：；

（2）若是的中點，求直線與平面的所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）令，記數(shù)列的前n項和為，求證：對任意的，都有；

（3）若數(shù)列滿足，，記，是否存在整數(shù)，使得對任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如下表：

（年齡/歲）

26

27

39

41

49

53

56

58

60

61

（脂肪含量/%）

14.5

17.8

21.2

25.9

26.3

29.6

31.4

33.5

35.2

34.6

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點圖.

（1）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖：

（i）求；

（i）計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫它們的相關(guān)程度.

（2）若關(guān)于的線性回歸方程為，求的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量.

附：參考數(shù)據(jù)：，，，，，，

參考公式：相關(guān)系數(shù)

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進節(jié)能減排，某年國家對消費者購買新能源汽車給予補貼，其中對純電動乘用車補貼標準如下表：

新能源汽車補貼標準

車輛類型

續(xù)駛里程

純電動乘用車

3.5萬元/輛

5萬元/輛

6萬元/輛

某校研究學習小組從汽車市場上隨機選取了輛純電動乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程）作出了如下的頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計表：

分組

頻數(shù)

頻率

2

0.2

5

合計

1

（1）若從這輛純電動乘用車中任選2輛，求選到的2輛車續(xù)駛里程都不低于150km的概率．

（2）若以頻率作為概率，設為購買一輛純電動乘用車獲得的補貼，求的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，角所對的邊分別為，已知.

(1)求角的大��；

(2)若，且，求邊；

(3)若，求周長的最大值.

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