【題目】已知圓,一動圓與直線相切且與圓外切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)若經(jīng)過定點的直線與曲線交于兩點, 是線段的中點,過作軸的平行線與曲線相交于點,試問是否存在直線,使得,若存在,求出直線的方程,若不存在,說明理由.
【答案】(1) ;(2) 存在直線或,使得.
【解析】試題分析:
(1)本題用直接法求動點軌跡方程,設支點坐標為,當然由已知分析,動點不能在軸左側(cè),然后利用直線與圓相切和兩圓外切的條件列出方程,化簡即可;
(2)假設存在滿足題意的直線,設出直線方程,分析發(fā)現(xiàn)直線的斜率為0時不合題意,從而設直線方程為,設,直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組,消去變量后得的一元二次方程,由韋達定理得,設,得, ,由求出值,得直線方程,若不能求出實數(shù),則說明假設錯誤,不存在相應的直線.
試題解析:
(1)設,分析可知:動圓的圓心不能在軸的左側(cè),故,
∵動圓與直線相切,且與圓外切,
∴,
∴,
∴,
化簡可得;
(2)設,
由題意可知,當直線與軸垂直時,顯然不符合題意,
故可設直線的方程為,
聯(lián)立和并消去,可得,
顯然,由韋達定理可知,①
又∵,
∴,②
∵,∴,③
假設存在,使得,
由題意可知,∴,④
由點在拋物線上可知,即,⑤
又,
若,則,
由①②③④⑤代入上式化簡可得,
即,
∴,故,
∴存在直線或,使得.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲船在島B的正南A處,AB=10千米.甲船以每小時4千米的速度向北航行,同時,乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ敿状?/span>A,B之間,且甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間是( )
A. 分鐘 B. 小時 C. 21.5分鐘 D. 2.15分鐘
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱柱中, 底面,底面為菱形, 為與交點,已知,.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求證: ∥平面;
(Ⅲ)設點在內(nèi)(含邊界),且 ,說明滿足條件的點的軌跡,并求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓和拋物線有公共焦點, 的中心和的頂點都在坐標原點,過點的直線與拋物線分別相交于兩點(其中點在第四象限內(nèi)).
(1)若,求直線的方程;
(2)若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上,直線與橢圓有公共點,求橢圓的長軸長的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面, ,、分別是棱、的中點.
(Ⅰ)求證:平面.
(Ⅱ)若線段上的點滿足平面平面,試確定點的位置,并說明理由.
(Ⅲ)證明:.
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【題目】對某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數(shù)據(jù),我們用兩種模型①,②擬合,得到回歸方程分別為, ,作殘差分析,如表:
身高 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
體重 | 6 | 8 | 10 | 14 | 15 | 18 |
0.41 | 0.01 | 1.21 | -0.19 | 0.41 | ||
-0.36 | 0.07 | 0.12 | 1.69 | -0.34 | -1.12 |
(Ⅰ)求表中空格內(nèi)的值;
(Ⅱ)根據(jù)殘差比較模型①,②的擬合效果,決定選擇哪個模型;
(Ⅲ)殘差大于的樣本點被認為是異常數(shù)據(jù),應剔除,剔除后對(Ⅱ)所選擇的模型重新建立回歸方程.
(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位)
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為, .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ) 時,討論的單調(diào)性;進一步地,若對任意的,恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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